??

[?? ???] ???? ? ? ??? ??? ??? ?? ??? ??? ??, ??????

0. ????

?

??? ?? ???? ??? ?????, ????? ??? ??? ???? ?? ????.

?

??????(BC 287 ~ BC 212)? ?????? ???? ??? ??? ??? ????,

??? ??(1642~1727)? '??'?? ??? ???? ????? ???? ?

??? ? ???? ??? ???? ???? ??? ????.

?

??? ??? ?? ??? ??? ??? ??? ??? ???? ??? ??? (????)

??? ??? ????? ???(1777~1855)? "??? ?? ????."?? ?? ??? (??? ??? ?? ??)

??? ???? ??? ?? ??? ????.?

?

???? ???(1845~1918)?????? ???? ??? ???? ??? ?????, ??? ???? ??? ???? ?????.

??? 200??? ???? ??? ??? 1800?? ???? ???? ???? ??? ???.

?? ?? ??? 2500?? ?? ???? ??? ??? ???? ??? ?? ?? 100? ???? ? ? ??.

?

?? ???? ??? '?? ??'? ????? ?? ?? ???,

??? ?? ???? ??? ? ?? ?? ???? ?? ?? ??? '??? ??'? ?????.

?

1. ????? ??

?

????? ??? ??? ??? ?? ????? ? ??? ????, ??? ??? ?? ????????.?

??? ??? ?? ? ??? ?? ????? ?? ??? ????.

?

??? ?? ?? ?? ??? ??. ? ??? ??? 1??? ??? ? ????, ?? ??? ???? ???? ??.

?

??? ??? ???? ????, ?? ?? ??? ???.

??? ?? ?? ???, ?? ? ???? ??? ??? ? ????

?

?? ??? ?? ?????, ?? 10?? ?? ??? 10?? ???? ????

??? ???? ?? ??? ?? ???? ???? ?? ?? ??? ?????.

(?? ?????, ????? ??? ???? ??.)

?

??? ?? ?? ????

???? ??? ???? ???? ??? ??? ???? ?? ??? ?? ????.

?

1? ? ???? 2? ???,

2? ? ???? 3? ???,

3? ? ???? 4? ???,

...

?? ??? ????? ?? ????

?? ? ???? ??? ?? ?? ? ???,

1? ?? ?? ??? ??? ???? 1? ?? ???? ??.

?

?? ?? ??? ??? ?? ??? ??? ???? ???.

?

?

???? ?? ?? ?? ??? ???? ??? ????

? ? ? ????, ? ???? ?? ???? ???? ?? ????.

?

1? ???? 2? ???,

2? ???? 4? ???,

3? ???? 6? ???,

...

??? ??????? ??? 2? ?? ??? ?????

??? ??? ?? ???? ? ?? ?? ?? ???? ?? ??? ? ?? ??.

(1000? ? ???? 2000? ??? ????? ???? ???? ??????? ???.)

?

?

??? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ???? ??? ?? ?? ?? ???? ?????

? ?? ???? ??? ? ?? ??? ????, ?? ??? ??? ????.

(??? ??? ?????.)

?

?

????? ?? ???? ??? ??? ???? ?? '??? ??'?? ?????.

?? ?? ?? ??? ????????, ? ?? ???, ?? ?? ???, ??? ?? x ?? ?? ??? ??? ???? ??? ? ??.

???? ?? + 1 = ??, ?? + ?? = ??, ?? + ?? x ?? = ??... ??? ? ????

?

??? ?? ??? ???? ??? ? ???...

? ?? ??? "??? ?? ??"? ??? ??? ????? ????

?

2. ?????? ??

?

?? ????? ??? ??? ?? ???? ??? ??? ??? ???,?

? ?? ? '???'? ??? ??? ??? ???? ? ??? ??? ???.?

?? ??? ??? ???? ??? ??? ??????? ?????? ???.

?

??? ??? ?? ??? ???? ?????.

{1, 2}?? ??? {3, 4, 5}?? ??? ??? ????

??? ??? ??? 2???, ??? ??? 3??? ??? ? ??.

?

???? ????? ????.

[????????]? [???? ??]? ??? ????

????? ??????, ??? ??? ??? ??? ???,,,

??. ? ? ??? ??? ???? '?'? ?????? ??.

(??? '?'? ??? ?? ??!!)

?

?? ?? ??? ?????.?

?! [????? ??]? [???? ??]? ?????, [????? ??]? ? ??? ? ? ?? ? ??.

? '????'? ???? ??? ?? ??? ????? ???? ???.

??? ???, ???? ??? {1, 2}? {3, 4, 5}??? ?? ??? ??????.

? ??? ????? ?? ???!

?

2.1. ??? ??? ?? ?? ??

?

??? ????? ?????? ?????? ??? ? ?? '?? ??? ??'? ?????.

???? ???? "??? ??? ???? ??? ??? ??"?? ??? ?? ??? ????.
(??? ??? ???... ????? ???? ???? ??. ??? ???? ???? ??? ???.)

?

???? ?? ??? ??? ??????

?? ?? ? ??? ?? ????. ?? ???? ??? ?? ??? ???? ? ????.

?

?

???? ?? A? ?? B?? ??? ?? ?? ?????

?? B?? ???? ?? ??? ?? A? ?????? ????, A? ??? ???? ???.

(? ? ?????, B?? A? ?? ????? ????...? ????.)

?

2.2. ??? vs ?? ?? ??

?

? ?? ?? ??? ????.

???? ??? ??? ?? ??? ??? ????.??][???] ???? ??? ??? ??? ??? : ??? ???

?

??? ????, ???? '?? ??? ??? ?'?? ??? ????,

???? (??, ??)? ???? ???? ?? ??? ??? ? ??,

?? ?? ??? ?? ???? numbering? ???? ??? ??? ????.

??N??] '??? ??'? '?? ??' ??? ???...?? ?? '??'

?

?????, ???, ??, ??, ??, ??? ?? ?? '?? ??? ??'??? ?? ???!

??? ????? ??(prime number)? ????.

?

???? ???? ?? ???? ?? ???? ????? ? ??? ?? ? ??? ????.

???? ???? ???? ?? ????,

???? ?? ???? ?? ?? ? ??? (??) ?? ???.

??? ?? ??? ???!?

?

?

3. ??? ??? ???? ????? ??. ?? ??? ??

?

???? ?? ??? ????? ????? ?? ?? ???,

??? ??? ??? ???? ?? ??? ? ? ??. (??? ?? ???. ???? ?? ??????.)

?

???? ?? ??? ??? ???, ???? ???? ??? ??? ????

??? ??? ???? ???? ??? ?? ?????.?

?

?? ??? ?? ?? ???, 0?? 1 ??? ??? ?????.

0?? 1 ??? ?????? ????? ??? ?? ????, ??? ?? ??? ?? ? ???.

?

3.1. ??? ??

?

???? ????. ??? ?? ?????.

???? 0~1? ??? ?????? ??? ???? ???.

?? ?? ?? ?????,??? 0~1 ??? '??'? ??? ?? ????.

?

??? ??, ?? ??? ??? ?????? '??? ?? ? ?? ?? ??'? ????

?? ??? ??? ? ???? ????, ???? ??? '?? ???? ?? ???? ??? ???!'?? ??? ??.

?

?? ???? ??? ???.?

?

a1 = 0.451837229....

a2 = 0.129568237...

a3 = 0.923781832...

a4 = 0.348127932....

...

?

? ?? ?? ???? ???? ?? ??? ?? r??'? ????' ??.

???? ??.

?

r? 0.abcde... ? ??? ??????,

a? a1? ????? 4? ?? ?? ???,

b? a2? ????? 2? ?? ?? ???,

c? a3? ????? 3? ?? ?? ???,

...

?

?? ???? r? a1??, a2??, a3?? ?? '??? ?'? ???? ???.

?? ??, a1, a2, a3, ..? ???? ???? ?? r? ???? ???.

?

?? ??? ?? ? ? ?? ????. (?? ????)

(??? 2??? ???? ??)

?

??? ???? ???? ??? ??? ??? ???? ??,

??? ???? ??? ???? ?? ?? ????.?

?

?, 0~1? ????? ? ??? ?????? ??? ??? ???.

?, ????? ??? ??? ??? ??? ?????.

?, ????? ??? ???? ??.

?

(3.1.1. ???)

?

?? ???? ???? ??, ???? ? ?? ???? ????.

????? ?? = ??? + ?????. ???? ??? ??? '??? ??? ? ?? ??'??.

???? ???? ???? ??? ????

?

??? ???.

?? ???? ???? ??? ???, ???? ???? ?? ???? ??? ????,

???? ??? ?? ?? ??? ???? ?? ???

??? + ???? ???? ??? ??? ?????.

???? ?? = ??? + ?????, ??? ???? ??? ??? ??????, ??? ?? ?? ??? ??? ????.

???? ???? ???? ?????? ?????, ????? ??.

?

3.2. ? ? ?? ??? ? ? ?? ??

?

? ? ?????. ??? ~? '??? ??'?? ???.

??? ???? ??? ???? ??? ??? ??? ?? ??????.

(????? ????? ??? ??? ??? ??? ??.)

?

??? ~ ??, ??, ??, ??, ???

?? ~ ???, ???

?

?? ???? ??? ? ??? ?? ??? ???? ??? ????.

?

?????, ?? ??? ??? ?? ??? ?? ??????

?? ???? '?? ???'? ?? ? ??.

??? ????? ?? ????? ?? ??? ????.

(?? ????? ? ??? ? ?? ??? ??.)

?

??? ~ ??, ??, ??, ??, ??? : ? ? ??, ??, countable

?? ~ ???, ??? : ? ? ??, ???, uncountable

?

3.3. ??? ?? (Cantor Set)

?

???? ??? ? ? ????? ???, '? ? ?? ??' ? ?? ????? ?? ?? ????.

?

???? ?? ?? ??? ?? ??? ?????.

?

???, ??, ??, ?? ?? ?? ???? ???? ???.

???? ?? ??? ?? ??? ???.

?

?????? coutable??? ???? ?? ???? ???. ???? ??? ???.

???, ??? ??? uncountable?? ????? ?????.

(??? ? ?????? ?? ?? ?? ???? ???.)

?

??? ??, ?? ???? ???, ????? ? ???? ???? ??? ?????

uncountable? ??? ??? ?? ? ?????

??? ???? ???? ???? ???? ???, ? ??? ?? ??? ????.

(? ??? ??? uncountable?? ??? ????. ? ??? ??? ????? ?????.)

?

??? ??? ????? ?? ?? ??.

?? 0~1? ?? ???? ????.

??? 1/3? 2/3 ??? ?? ?? ????. (? ? ??? ?? 1/3? 2/3? ???? ???.)

? ??, ???? ? ?? ?? ? ? ??? 1/3?? ????.?1/9~2/9, 7/9~8/9? ????.

? ???? ? ?? ? ??? 1/3? ????.

...

?

? ??? ??? ?? ??? ?? (????)

?

? ??? ?? 7??? ?? ???, ? ???? ?? ?? ????????.

?

??? ??? ??? ??? ???? ???.?

??? ??? '1?? 2?? ?? ??'? ?? ???? '?'? ???? ??? ???.

??? ??? ??? ?? ? ???, ? ?????1/3? ???? ??? ???? ?? ? ??? ??? ????? ????.

?

??? ??? ??? ????? ???? ???.

???? ????? ? ?? ??? ? ??? ??? ???? ??? ????.

???, ??? ??? ? ?? ???, ?? 1/3? 2/3? ??? ? ??? ??? ??? ???? ???.

?

???? ??? ??????,

??? ?? ?????? ? ???? ????? ? ??? ???,?

??? ????? uncountable??? ?????? ?? ? ???!

???? ???, ??? ??? ??? ????? ? ? ??? ?? ??? ??? ??.

?

?????, ??? ??? ??? ?? ???? ??? ? ???? ??? ??? ?????.

??? ??? ??? ??? ??? ?? ????? ?????,

? ??? ???? ??? ?? ?? ???? ???????.

?

??? ??? ??? ??? ??? ???? ??? ???,?

??? ????? ?? ?? ??? ??? ?? '??' ??????????? ?? ??? ?????.

?

4. ??? ??? ????

?

??? ??? ?? ??? ? ?? ?? ??, '????? ??'?? ?? ??.

??? ?? ??? ??? ? ??? ?? ???,,, ?? ??? '? ??? ?? ?? ??? ???'?? ??? ?? ????.

(??? ??? ?? ????? ????)

?

???? ??? ??? ?????? ????? ???? ???, ??? ???? ??? ?? ??????

??? ?? ??? ????? ??? ?? ?? ????? ??? ?????? ?????? ??? ????.

?

????? ???, ??? ??? ?? ??? ???? ??? '??? ??? ???? ??? ????'? ?? ???.

?

?? ?? ????'? ?? ?? ? ?? ???'?, ?? ???? ? ? ?? ???.

??,,, ?? ?? ??? ? ??? ???? ??? ?? ??? ??? ? ?? ??? ???.

?? ??? ??? ??? ???????

?

????? ??? ???? ?? ????, ????? ??? ?? ???? ??? '????'? ?? ????,

??? ??? ? ??? ??? ?????? ???? ???.

?

??? ?? ???? ????? ?? ??? ??? ??, ???? ??? ?? ???? ????.

??? ??? ?? 1938? ?? ????? ?????,

? ??? ?? 1963? ?? ????? ?????. (? ??? ? ??? ??? ???, ???? ???.)

?

4.1. ??? ??

?

??? ???, ?????? ??, ????? ?? ????? ?????? ????.

??? ??? ??? ??? ??? ??? ????? ???? ???,

??? ?? ?? ??? ?? ??.

?

? tough?? ???,

??? ??? ???? ??? ????? ??? ???? ??

?? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??.

?

?? ??? ?? ?? ??? ??? ??? ? ?? ??? ? ?? ???.

?? ??? ????? ??? ?? ??? ? ?? ???.

?

????? ???,?

2006? ? ??????? ???? '??? ??? ??? ?? ?? ?????'?? ??? ?? ??,

?? ???? ???? ??? ???? ??? ??? ?? ???? ? ??.

?

4.2. ????

?

????? ?? ??, ?????? ?? ???? ???? ????? ?? ????.

(????? ???? ???? '???'? ???, ??? '???'??? ???.)

?

?, ?? ? ?? ?? ??? N_0??? ??, ? ???? ?? ??? N_1??? ??,?
N_2, N_3, ...?? ??? ???? ? ??? ??? ???.

??? ???? '????'?? ??.

(??? N? ?? '???'?? ?? ?? ???? ?? ????.)

?

???(?), ??? ???? ?? : ??? ???

?

? ? ?????? ?????,?

'?? ?? ??'? ??,

'? ???? ? ??'? ??,

? '? ???? ? ??'? ?? ???.

?

????? ?? ????? ?? '3000?? ???!'? ?? '????? ???!'?? ?? ?,

????? '??? 1?? ???!'?? ?? ?? ? ????? ??? ? ?? ???.

(?? ? ????)

?

??, ????? ??? ???? ???? ? ??.

????? ????? ??? ??? ? ??? ???? ???,

??? ??? ?? ?? ???? ??? '???'? '??'? ?? ??? ??? ?????.

?

(4.3. ??? ??)

?

??? ??? ??? ????? ??? 2^(N_0) = N_1 ??... ?? ???,

????? ?? ???? ??? ??? ??? ??? ? ??.

??? ?? ?? = 2^??? = 2^(N_0)?? ??? ?? ???,,,

????? ???? ?? ??? ??? ?? ???? ??? ????.

?

??? ??? ??? ?? ???? ??? ??? ?? ???.

?

5. ???

?

?? 0.999... = 1 ?? ??? ? ???? ? ??. ???? ??? ???? ?????.

??? ?? ???. ? ??? ???? ??? ????, ??? ????? ??? ??? ???.

?

? ???? '????', '????'? ?? ?? '??'??? ??? ???? ??? ??? ????,

?? ?? ???? ??? ??? ???? '??' ? ??? ???? ??.

????? '??' 2???? ???? ???????.

?

?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? '??? ???? ?? ???? ??? ? ?? ?'????

??? ???? ?? ?? ??? ?? ???? ??? ?? ???.

?

? ?? ??? ?? '??? ??', '??? ??? ???? ?', '????? ???-???? ??' ??

???? ???? ? ???, ??? ?? ??? ???????????? ? ? ??????.

25?? ??

14 ? ?

??? ??? ??? ?????

0
14 ? ?
@????

?? ?? ? ????...?

0
[??:6]???
14 ? ?

m? ??? ??? ?, n? ??? ??? ??? ?? ???? ???-??? ????? ?? ? ? ?? m=137, n=430? ?? 137.034? ???.

?

??? ??? ??? ?? ??? ??? ???? ??? ????? ? ??? ??? ??? ?? ???, ?? ?? ????.

0
[??:6]???
14 ? ?
@???

? ?? 1111...? ???? ? ? ??? ???? ??? ?? ??? ??? ??? ??????

0
14 ? ?
@???

? m n ???? ?? ? ? ? ??? ???????. ???? ????.. ? ??? ?? ??? ? ?? ?????..

0
14 ? ?
@???

? ????? ??? ? ?? ??? m, n ??? ??.

?

?? ??2? ????? 189207115....??, ?? ??? ????? ?? ???? ???, ??? ?? ??. ???? ? 1? ???? ????? ??? ?? ?? ??.

1
14 ? ?

??? ????

0
14 ? ?
@lIIIIllIlIl

??? ?? ??? ?? ???? ???? ? ?? ?. ????? ?.

0
14 ? ?
@0?????

?? ?? ???? AI??? ???? ?? ?? ??? ? ??

0
[??:32]???
14 ? ?

????? ??? ??? ????

0
12 ? ?
@???

?? ???? ???? ? ? ?? ?? ?? ?? ?...

??? ????? ????? ?? ????? B- ?? ???? ? ? ??? ??? ??? ??...?..

0
[??:32]???
12 ? ?
@0?????

? ???? ???????

????? ??@??? ?????? ??

?? ?? ???.....?

0
12 ? ?
@???

?? ???? ??????,,,

manifold? ?? ? ?? ????... ?? ? ??? ???? ?????...

???? ??? ??? manifold? ?? ?? ?????? ? ??? ??/??? ???? ????? ? ???? ?? ??.

?? ?? ?? ?? ??? ?? ??

1
[??:32]???
12 ? ?
@0?????

? ?? ???????

?_{M} K da+?_{?M} k_{g} ds=2��*��(M)

??? ????? ??

?..... ???? ???? ???? ?? ??? ??

? ???? ????? https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%9C%E2%80%93%EA%B0%80%EC%9A%B0%EC%8A%A4%E2%80%93%EB%B3%B4%EB%84%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC ???? ? ??? ?? ??

? ?? ?????? ???

?

0
12 ? ?
@???

? ?? ??? ???? ?? ?? ???? ?? ????

0
12 ? ?
@???

? ????? ??? ???? ??? ??? ?? ? ???? ? ??. ??? ?? ??? ?? ??? ? ???, ??? ??? ? ????? ??? ?? ??? ???? ???? ??? ?.. ??

0
13 ? ?

? ? ??? ?? ?? ?? ????? ?? ??? ?? ?????? ? ????? ? ??

0
13 ? ?

?????? ????? ?? ?? ??? ?? ???

0
12 ? ?
@????????

?????? ????, ????? ?? ?? ?? ? ???,,,

?

??? ??? ???? ?????? ????? ??? ????

? ? ???? ?? ??? ???? ? ? ??? ???.. ? ??

?? ? ??? ???.

1
12 ? ?

?! ??? ????! (????)

0
11 ? ?

???????

???-????? ?? ? 1?? ?? ???

???? ?? ???? ? 2? ?? ???

?? ?????

?? ??? ???? ??? ????? ??? ???

?????? ??? ? ?? ??? ???

0
[??:3]???
11 ? ?

???? ???? ??? ?? ??? ??? ?? ? ???

?? ?? ?? ??? ??? ?? ? ????

0
8 ? ?

???? ??? ? ?????

???? ???

0
[??:5]??
7 ? ?
0
[??:6]??
6 ? ?
0
???? ??? ??? ? ????.